SERIES DE FOURIER
Signaux Périodiques

Définition
Soit x un signal périodique de période T = 
On pourrait démontrer que sous certaines conditions de dérivation et de continuité, 
x(t) peut se mettre sous la forme d'une série de Fourier S(t) :

S(t) = an.cos(nt) + bn.sin(nt)

S(t) = a0 +an.cos(nt) + bn.sin(nt)

                     ou encore

Avec :

a0 = x(t) dt

an = x(t) cos(nt) dt

                                                                                                                                            x   

        a0 : valeur moyenne du signal

bn = x(t) sin(nt) dt

                                                                                                                                                         x   1
             : intervalle de longueur T                                                                                                   

 = 

                                           : pulsation fondamentale 
                                          n  : pulsation harmonique de rang n  (n : entier)

Remarque :
 Si le signal x(t) est paire :  bn = 0
 Si le signal x(t) est impaire : a0 = an = 0

Représentation graphique
    Module :                                                   Phase :

Sn = 

n = - Arctg 

Alors le signal x(t) peut s'écrire sous la forme :

S(t) = a0 +Sn.cos(nt+n)

                                                                                           Sn : amplitude de la sinusoïde à la fréquence nf0
                                                                                                        
                                                                                           n : période de la sinusoïde à la fréquence nf0

Tout signal périodique peut être mis sous la forme d'un ensemble de fonctions sinusoïdales dont les pulsations sont des multiples de la pulsation fondamentale nf0.

Coefficients Complexes

Cn = (an  jbn) = x(t).e -jnt dt

                                                                               Cn représente les coefficients de Fourier complexe

S(t) =  Cn . e jnt

C0 = a0 =  x(t) dt

On pose                                                                     on en tire  

 +  =  Sn

 = = 

 = = 

Arg(Cn) = Arctg  = Arctg  = - Arctg  = n     représentation graphique

Signal Périodique = Spectre de raie

Théorème de Lejeune-Dériklet
  Hypothèses :
- Le signal x est continue sur 0;T    (sauf un nbr fini de pts où x  peut présenter une discontinuité)
- Le signal x possède une dérivée à droite et à gauche en tout point sur 0;T

  Conclusions :
 La série de Fourier de x converge pour tout x réel.
 Si x est continue en a, alors S(a) converge vers x(a)
 Si x n'est pas continue en a, alors S(a) converge vers le milieu du saut.

S(a) = x(a)

                                                                                     Si x est continue au point a

Théorème du retard
 Soit x un signal et y un signal retardé de t0 > 0 par rapport à x.

Cn(y) = . Cn(x)

Théorème de Bessel-Parseval : 
 La puissance moyenne d'un signal périodique est la somme des puissances contenues 
dans chacune des raies.

P = x(t)² dt   =   a02 + (an2 + bn2)  =  Cn2