Suites et Séries

Suites
Définition :
  Une suite de nombres réels et une fonction d'une partie infinie de  vers .

Monotonie d'une suite :
3 méthodes:
n+1 > n                                                   Signe de un+1 - un                                   un = f(n)
f(n+1) > ou < f(n)                                                                                                 Etude de f
g(f(n+1)) > ou < g((f(n))
…..
un+1 > ou < un
•	u est une suite strictement croissante ou décroissante

u est strictement croissante si un+1 > un  (quelque soit n)
u est strictement décroissante si un+1 < un

Convergence d'une suite :

u est convergente si Lim un existe et est finie
                                        n  +oo

u est croissante et majorée si un est convergente
u est décroissante et minorée si un est convergente

Séries
Définition :
   Une série de terme général un est la suite Sn définie par :

Sn = uk

           S1 = u1
           S2 = u1 +u2 =S1 +u2
         …….
           Sn = u1 + … + un = Sn-1 + un

 Théorème :  Si Sn  est CV, alors Lim un = 0   (Attention ! Réciproque fausse)

Série géométrique :

Sn = ak

                                                     
                                                   Sn est la série géométrique de raison a

                      Si a  1  :                                                                        Si a = 1 : 

Sn =  = 

Sn = n + 1

Lim Sn =  = ak

  Si a < 1  :   Sn est CV         et     

  Si a > 1  :   Sn est DV

Série de Rieman :

Sn = 

                                              Sn est une série de Rieman  (NB : >0 )     

  Si  < 1  :   Sn est DV              

  Si  > 1  :   Sn est CV

Critères de Convergence
1) Séries à termes positifs
      Théorème de Comparaison
- Critère de Cauchy :

0  l  < 1 => est CV
l  > 1 => est DV

Lim un 1/n = l

     

- Critère d'Alembert :

0  l  < 1 => Sn est CV
l  > 1 => Sn est DV

Lim  = l

     
     Théorème des Equivalents
  Utilisation des équivalents connus (voir formulaire)

2) Séries à termes de signe quelconque
     Séries alternées
Déf : Une série Sn est dite alternée si 2 termes consécutifs sont de signe contraire.

Si  est décroissante et Lim un = 0 , alors Sn est CV

     
     Séries alternées

Si  est CV, alors est CV

                                                                                                                      (Attention ! Réciproque fausse)